Бесконечность

«Гильберту принадлежит пример бесконечности, известный под названием „отель Гильберта“ и наглядно иллюстрирующий необычные свойства бесконечности. Этот гипотетический отель обладает отличительным признаком: число номеров в этом отеле равно бесконечности. Однажды в отель прибывает новый гость и к своему разочарованию узнает, что, несмотря на бесконечно большое количество номеров, свободных мест нет. Гильберт, выступающий в роли портье, поразмыслив немного, уверяет нового гостя, что найдет для него свободный номер. Он просит каждого постояльца переселиться в соседний номер: постояльца из номера 1 переселиться в номер 2, постояльца из номера 2 — переселиться в номер 3, и т.д. Каждый из постояльцев, живших в отеле, получает новый номер, а новый гость поселяется в освободившийся номер 1. Это показывает, что бесконечность плюс один равна бесконечности.

На следующий вечер портье Гильберт столкнулся с гораздо более трудной проблемой. Как и накануне, отель был переполнен, когда прибыл бесконечно длинный лимузин, из которого высадилось бесконечно много новых гостей. Но Гильберта это нисколько не смутило, и он только радостно потирал руки при мысли о бесконечно многих счетах, которые оплатят вновь прибывшие. Всех, кто уже обосновался в отеле, Гильберт попросил переселиться, соблюдая следующее правило: обитателя первого номера — во второй номер, обитателя второго номера-в четвертый номер, и т.д., то есть каждого постояльца Гильберт попросил перейти в новый номер с вдвое большим „адресом“. Все, кто жил в отеле до прибытия новых гостей, остался в отеле, но при этом освободилось бесконечно много номеров (все те, „адреса“ которых нечетны), в которых находчивый портье расселил новых гостей. Этот пример показывает, что удвоенная бесконечность также равна бесконечности.»

С. Сингх, Великая теорема Ферма 

Вроде все понятно, но все равно бесконечность осознается с трудом...